Шпаргалка по элементам теории относительности

1. Постулаты СТО (специальной теории относительности)

Принцип относительности: Все физические законы одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта (ИСО).
Инвариантность скорости света: Скорость света в вакууме (c ≈ 3⋅10⁸ м/с) одинакова во всех ИСО и не зависит от скорости источника и наблюдателя.

2. Относительность одновременности

События, одновременные в одной ИСО, могут быть не одновременны в другой, если они происходят в разных точках пространства.

3. Замедление времени (релятивистское замедление)

В движущейся ИСО время течёт медленнее:

Δt = Δt₀ / √(1 - v²/c²)

где:

Δt — время в "неподвижной" системе,
Δt₀ — собственное время (в движущейся системе),
v — скорость движения.

4. Сокращение длины (лоренцево сокращение)

Длина тела в направлении движения уменьшается:

L = L₀ √(1 - v²/c²)

где:

L — длина в "неподвижной" системе,
L₀ — собственная длина (в движущейся системе).

5. Релятивистский закон сложения скоростей

Если тело движется со скоростью u' в системе S', которая сама движется со скоростью v относительно S, то скорость тела в S:

u = (u' + v) / (1 + u'v/c²)

6. Релятивистский импульс и энергия

Импульс:
p = m₀v / √(1 - v²/c²)
Полная энергия:
E = mc² = m₀c² / √(1 - v²/c²)
Энергия покоя:
E₀ = m₀c²
Связь энергии и импульса:
E² = (pc)² + (m₀c²)²

7. Общая теория относительности (ОТО, кратко)

Принцип эквивалентности: Локально гравитационное поле эквивалентно ускоренной системе отсчёта.
Искривление пространства-времени: Массивные тела искривляют пространство-время, что проявляется как гравитация.
Гравитационное замедление времени: Вблизи массивных объектов время течёт медленнее.

Важно:

При v ≪ c релятивистские эффекты пренебрежимо малы, и формулы переходят в классическую механику.
Никакое тело с ненулевой массой не может достичь скорости света (v < c).

Примеры решения задач по элементам теории относительности

В школьной программе задачи по элементам теории относительности обычно затрагивают основные понятия специальной теории относительности (СТО) Эйнштейна: замедление времени, сокращение длины, релятивистский импульс и энергию. Рассмотрим несколько примеров таких задач и их решений.

Пример 1: Замедление времени (парадокс близнецов)

Условие: Космический корабль движется со скоростью v = 0,8c (c — скорость света). За время полёта по часам на Земле прошло 10 лет. Сколько времени прошло для космонавта на корабле?

Используем формулу замедления времени:

Δt' = Δt √(1 - v²/c²)

Где:

Δt = 10 лет (время на Земле),
v = 0,8c.

Подставляем:

Δt' = 10 · √(1 - (0,8)²) = 10 · √(1 - 0,64) = 10 · √0,36 = 10 · 0,6 = 6 лет.

Ответ: Для космонавта прошло 6 лет.

Пример 2: Сокращение длины

Условие: Ракета длиной L₀ = 100 м пролетает мимо наблюдателя на Земле со скоростью v = 0,6c. Какую длину ракеты измерит наблюдатель?

Длина объекта в движущейся системе сокращается:

L = L₀ √(1 - v²/c²)

Подставляем:

L = 100 · √(1 - (0,6)²) = 100 · √(1 - 0,36) = 100 · √0,64 = 100 · 0,8 = 80 м.

Ответ: Наблюдатель измерит длину ракеты 80 м.

Пример 3: Релятивистский импульс

Условие: Электрон движется со скоростью v = 0,9c. Найдите его релятивистский импульс, если масса покоя m₀ = 9,1 · 10⁻³¹ кг.

Импульс в СТО вычисляется по формуле:

p = (m₀ v) / √(1 - v²/c²)

Подставляем:

p = (9,1·10⁻³¹ · 0,9 · 3·10⁸) / √(1 - (0,9)²) = 2,457·10⁻²² / √0,19 ≈ 2,457·10⁻²² / 0,436 ≈ 5,63·10⁻²² кг·м/с.

Ответ: p ≈ 5,63·10⁻²² кг·м/с.

Пример 4: Полная энергия частицы

Условие: Какова полная энергия протона (m₀ = 1,67·10⁻²⁷ кг), движущегося со скоростью v = 0,8c?

Полная энергия в СТО:

E = (m₀ c²) / √(1 - v²/c²)

Подставляем:

E = (1,67·10⁻²⁷ · (3·10⁸)²) / √(1 - (0,8)²) = 1,503·10⁻¹⁰ / 0,6 ≈ 2,505·10⁻¹⁰ Дж.

Или в электронвольтах (1 эВ ≈ 1,6·10⁻¹⁹ Дж):

E ≈ (2,505·10⁻¹⁰) / (1,6·10⁻¹⁹) ≈ 1,566·10⁹ эВ = 1,566 ГэВ.

Ответ: E ≈ 2,505·10⁻¹⁰ Дж (или ≈1,566 ГэВ).

Вывод

Эти задачи охватывают основные аспекты СТО в школьной программе:

Замедление времени (движущиеся часы идут медленнее).
Сокращение длины (предметы короче вдоль направления движения).
Релятивистский импульс (импульс растёт нелинейно при v → c).
Энергия частицы (E = mc², включая кинетическую энергию).