Шпаргалка по планиметрии

📏 Треугольник

Основные понятия

Треугольник — фигура из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, их соединяющих.

Периметр: P = a + b + c
Полупериметр: p = P/2

Площадь треугольника

S = ½ × a × h (основание и высота)
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) (формула Герона)
S = ½ × a × b × sin(γ) (две стороны и угол между ними)

Замечательные линии

Медиана — отрезок от вершины к середине противоположной стороны
Высота — перпендикуляр из вершины на противоположную сторону
Биссектриса — делит угол пополам
Срединный перпендикуляр — прямая через середину стороны перпендикулярно ей

Теорема Пифагора (для прямоугольного треугольника): a² + b² = c²

⬜ Четырехугольники

▱

Параллелограмм

Четырехугольник с попарно параллельными противоположными сторонами

Противоположные стороны и углы равны
Диагонали точкой пересечения делятся пополам
Сумма соседних углов = 180°

S = a × h
S = a × b × sin(γ)

Прямоугольник

Параллелограмм с прямыми углами

Все свойства параллелограмма
Все углы = 90°
Диагонали равны

S = a × b

Ромб

Параллелограмм с равными сторонами

Все свойства параллелограмма
Все стороны равны
Диагонали перпендикулярны
Диагонали — биссектрисы углов

S = a × h
S = ½ × d₁ × d₂

Квадрат

Прямоугольник с равными сторонами (или ромб с прямыми углами)

Все свойства прямоугольника и ромба
Диагонали равны, перпендикулярны и являются биссектрисами

S = a²
S = ½ × d²

Трапеция

Четырехугольник с одной парой параллельных сторон (основания a и b)

Равнобедренная: боковые стороны равны, углы при основаниях равны
Прямоугольная: два прямых угла

S = ½ × (a + b) × h
Средняя линия: m = (a + b)/2

⭕ Окружность и круг

Основные понятия

Окружность — линия (граница)
Круг — плоская фигура, ограниченная окружностью
Радиус (R) — отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности
Диаметр (d) — хорда, проходящая через центр: d = 2R
Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности

Формулы

Длина окружности: C = 2πR = πd

Площадь круга: S = πR²

Взаимное расположение

Касательная — имеет одну общую точку, перпендикулярна радиусу
Секущая — имеет две общие точки

△⭕ Окружность и треугольник

Вписанная окружность

Окружность, касающаяся всех сторон треугольника

Центр — точка пересечения биссектрис (I)
Существует в любом треугольнике

Радиус: r = S / p (p — полупериметр)

Описанная окружность

Окружность, проходящая через все вершины треугольника

Центр — точка пересечения срединных перпендикуляров (O)
Существует около любого треугольника

Радиус: R = (a × b × c) / (4S)

Для прямоугольного треугольника:
R = c/2 (центр на середине гипотенузы)

🔷 Многоугольники

Общие свойства

Выпуклый многоугольник — все диагонали лежат внутри него
Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника: 180° × (n - 2)
Количество диагоналей: n(n - 3)/2

Правильные многоугольники

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все углы равны

Каждый внутренний угол: α = 180° × (n - 2) / n
Центр вписанной и описанной окружностей совпадают
Апофема — радиус вписанной окружности (r)

Связь между радиусами:
R = a / (2 × sin(180°/n))
r = a / (2 × tg(180°/n))
R² - r² = (a/2)²

Площадь: S = ½ × P × r

Примеры решения задач

Треугольник

Фигура с тремя сторонами и тремя углами. Сумма углов: 180°.

P = a + b + c
S = ½ · a · h

Пример решения:

Найти площадь треугольника со стороной 6 см и высотой 4 см.

Решение: S = ½ · 6 · 4 = 12 см²

Параллелограмм

Четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами.

P = 2(a + b)
S = a · h

Пример решения:

Найти периметр параллелограмма со сторонами 5 см и 7 см.

Решение: P = 2(5 + 7) = 24 см

Прямоугольник

Параллелограмм с прямыми углами. Диагонали равны.

P = 2(a + b)
S = a · b

Пример решения:

Найти площадь прямоугольника со сторонами 8 м и 5 м.

Решение: S = 8 · 5 = 40 м²

Ромб

Параллелограмм с равными сторонами. Диагонали перпендикулярны.

P = 4a
S = ½ · d₁ · d₂

Пример решения:

Найти площадь ромба с диагоналями 6 см и 8 см.

Решение: S = ½ · 6 · 8 = 24 см²

Квадрат

Прямоугольник с равными сторонами. Все углы прямые.

P = 4a
S = a²

Пример решения:

Найти периметр квадрата со стороной 9 см.

Решение: P = 4 · 9 = 36 см

Трапеция

Четырёхугольник с одной парой параллельных сторон.

P = a + b + c + d
S = ½ · (a + b) · h

Пример решения:

Найти площадь трапеции с основаниями 10 и 6 см и высотой 4 см.

Решение: S = ½ · (10 + 6) · 4 = 32 см²

Окружность и круг

Окружность - множество точек на равном расстоянии от центра. Круг - область внутри окружности.

Длина окружности: C = 2πR
Площадь круга: S = πR²

Пример решения:

Найти длину окружности с радиусом 5 см.

Решение: C = 2 · 3.14 · 5 ≈ 31.4 см

Вписанная и описанная окружность

Описанная окружность проходит через все вершины треугольника. Вписанная окружность касается всех сторон.

R = abc / (4S)
r = 2S / (a + b + c)

Пример решения:

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник со стороной 6 см.

Решение: r = a√3/6 = 6·1.73/6 ≈ 1.73 см

Многоугольник

Выпуклый многоугольник - все углы меньше 180° и все вершины смотрят наружу.

Сумма углов: 180°(n - 2)
Количество диагоналей: n(n - 3)/2

Пример решения:

Найти сумму углов восьмиугольника.

Решение: 180°(8 - 2) = 1080°

Правильные многоугольники

Многоугольник с равными сторонами и углами. Имеет вписанную и описанную окружности.

Центральный угол: α = 360°/n
Площадь: S = ½Pr

Пример решения:

Найти центральный угол правильного девятиугольника.

Решение: α = 360°/9 = 40°