Шпаргалка по производной

1. Понятие о производной функции

Производная функции — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.

f'(x) = lim_Δx→0 (f(x + Δx) - f(x)) / Δx

Геометрический смысл производной

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

f'(x₀) = k = tg α

где α — угол наклона касательной к положительному направлению оси OX.

2. Физический смысл производной

Производная характеризует скорость изменения процесса, описываемого функцией.

Если S(t) — закон движения материальной точки, то:

v(t) = S'(t) — мгновенная скорость
a(t) = v'(t) = S''(t) — ускорение

Пример: Тело движется по закону S(t) = 2t³ - 3t² + 5. Найти скорость в момент времени t=2c.

Решение: v(t) = S'(t) = 6t² - 6t; v(2) = 6×4 - 6×2 = 24 - 12 = 12 м/с

3. Уравнение касательной к графику функции

Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке x₀:

y = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀)

Пример: Найти уравнение касательной к графику f(x) = x² в точке x₀ = 1.

Решение: f(1) = 1; f'(x) = 2x; f'(1) = 2

Уравнение касательной: y = 1 + 2(x - 1) или y = 2x - 1

4. Производные суммы, разности, произведения, частного

Функция	Производная
(u ± v)'	u' ± v'
(u · v)'	u'·v + u·v'
(c · u)'	c · u' (c = const)
(u / v)'	(u'·v - u·v') / v²

5. Производные основных элементарных функций

Функция f(x)	Производная f'(x)
C (постоянная)	0
xⁿ	n·x^n-1
sin x	cos x
cos x	-sin x
e^x	e^x
a^x	a^x · ln a
ln x	1/x
log_a x	1/(x · ln a)

6. Вторая производная и ее физический смысл

Вторая производная — это производная от первой производной: f''(x) = (f'(x))'.

Физический смысл:

Для закона движения S(t): a(t) = S''(t) — ускорение
Характеризует выпуклость/вогнутость графика функции

7. Исследование функций с помощью производной

Промежутки возрастания и убывания:

f'(x) > 0 → f(x) возрастает
f'(x) < 0 → f(x) убывает

Точки экстремума:

В точках локального экстремума (max/min) f'(x) = 0 или не существует.

Алгоритм исследования:

Найти область определения
Найти производную f'(x)
Найти критические точки (f'(x)=0 или не существует)
Определить знак производной на интервалах
Определить характер критических точек
Найти значения функции в критических точках и на границах области

8. Применение производной для нахождения наилучшего решения

Производная применяется в оптимизационных задачах для поиска максимальных или минимальных значений.

Пример (экономическая задача):

Фирма производит X единиц продукции в месяц. Функция издержек C(x) = 100 + 5x + 0.01x². Цена продукции p = 10 - 0.02x. Определить оптимальный объем производства для максимизации прибыли.

Решение:

Доход: R(x) = p·x = (10 - 0.02x)x = 10x - 0.02x²

Прибыль: P(x) = R(x) - C(x) = (10x - 0.02x²) - (100 + 5x + 0.01x²) = 5x - 0.03x² - 100

P'(x) = 5 - 0.06x

Приравниваем к нулю: 5 - 0.06x = 0 → x ≈ 83.33

Оптимальный объем производства: 83 единицы.

9. Первообразная и интеграл

Первообразная функции f(x) — такая функция F(x), что F'(x) = f(x).

Неопределенный интеграл — множество всех первообразных: ∫f(x)dx = F(x) + C

Первообразные элементарных функций:

Функция f(x)	Первообразная F(x)
0	C
xⁿ (n ≠ -1)	xⁿ⁺¹/(n+1) + C
1/x	ln\|x\| + C
e^x	e^x + C
sin x	-cos x + C
cos x	sin x + C

10. Применение интеграла в физике и геометрии

Физика:

Путь при переменной скорости: S = ∫v(t)dt
Работа переменной силы: A = ∫F(x)dx

Геометрия:

Площадь криволинейной трапеции: S = ∫^b_af(x)dx
Объем тела вращения: V = π∫^b_af²(x)dx

Пример: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x², y = 0, x = 1, x = 2.

Решение: S = ∫²₁x²dx = (x³/3)|²₁ = (8/3) - (1/3) = 7/3

Примеры решения задач

Задача 1: Найти производную функции f(x) = 3x⁴ - 2x³ + 5x - 7

Решение: f'(x) = 12x³ - 6x² + 5

Задача 2: Исследовать функцию f(x) = x³ - 3x² и построить ее график

Решение:

Область определения: D(f) = (-∞; +∞)
f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2)
Критические точки: x=0, x=2
f'(x)>0 при x∈(-∞;0)∪(2;+∞) → функция возрастает
f'(x)<0 при x∈(0;2) → функция убывает
x=0 — точка максимума, f(0)=0
x=2 — точка минимума, f(2)=-4

Задача 3: Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = x³ - 6x² + 9x на отрезке [0;4]

Решение:

f'(x) = 3x² - 12x + 9 = 3(x² - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)
Критические точки: x=1, x=3 ∈ [0;4]
f(0)=0, f(1)=4, f(3)=0, f(4)=4
Наибольшее значение: 4 (в точках x=1 и x=4)
Наименьшее значение: 0 (в точках x=0 и x=3)

Примеры решения задач по школьной программе

Основные правила и формулы

Правила дифференцирования

Правило	Формула
Производная суммы	(u + v)' = u' + v'
Производная разности	(u - v)' = u' - v'
Производная произведения	(u · v)' = u'·v + u·v'
Производная частного	(u / v)' = (u'·v - u·v') / v²
Производная сложной функции	f(g(x))' = f'(g(x)) · g'(x)

Таблица производных

Функция	Производная
C (константа)	0
xⁿ	n · xⁿ⁻¹
sin x	cos x
cos x	-sin x
tg x	1 / cos²x
eˣ	eˣ
aˣ	aˣ · ln a
ln x	1 / x

Советы по решению:

Определите тип функции (произведение, частное, сложная функция)
Вспомните нужное правило
Аккуратно найдите производные каждого элемента
Упрощайте полученное выражение

Пример 1: Производная многочлена

Задача:

Найти производную функции f(x) = 3x⁴ - 2x³ + 5x - 7

Решение:

1. Применяем правило производной суммы/разности:

f'(x) = (3x⁴)' - (2x³)' + (5x)' - (7)'

2. Выносим константы за знак производной:

f'(x) = 3·(x⁴)' - 2·(x³)' + 5·(x)' - (7)'

3. Применяем формулу (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹ и (C)'=0:

f'(x) = 3·4x³ - 2·3x² + 5·1 - 0

4. Упрощаем выражение:

f'(x) = 12x³ - 6x² + 5

Ответ:

f'(x) = 12x³ - 6x² + 5

Пример 2: Производная произведения

Задача:

Найти производную функции f(x) = (x² + 1) · sin x

Решение:

1. Это произведение двух функций: u = x² + 1 и v = sin x

2. Применяем правило произведения: (u · v)' = u'·v + u·v'

3. Находим производные каждого множителя:

u' = (x² + 1)' = 2x

v' = (sin x)' = cos x

4. Подставляем в формулу:

f'(x) = (2x) · (sin x) + (x² + 1) · (cos x)

Ответ:

f'(x) = 2x sin x + (x² + 1) cos x

Пример 3: Производная частного

Задача:

Найти производную функции f(x) = (3x - 5) / (x² + 2)

Решение:

1. Это частное двух функций: u = 3x - 5 и v = x² + 2

2. Применяем правило частного: (u / v)' = (u'·v - u·v') / v²

3. Находим производные:

u' = (3x - 5)' = 3

v' = (x² + 2)' = 2x

4. Подставляем в формулу:

f'(x) = (3·(x² + 2) - (3x - 5)·2x) / (x² + 2)²

5. Упрощаем числитель:

3(x² + 2) - 2x(3x - 5) = 3x² + 6 - 6x² + 10x = -3x² + 10x + 6

Ответ:

f'(x) = (-3x² + 10x + 6) / (x² + 2)²

Пример 4: Сложная функция

Задача:

Найти производную функции f(x) = sin(3x² - 4)

Решение:

1. Это сложная функция. Внешняя функция - sin(u), внутренняя - u = 3x² - 4

2. Применяем правило: f'(x) = (sin(u))' · u' = cos(u) · u'

3. Находим производную внутренней функции:

u' = (3x² - 4)' = 6x

4. Подставляем обратно:

f'(x) = cos(3x² - 4) · 6x

Ответ:

f'(x) = 6x · cos(3x² - 4)

Пример 5: Исследование функции

Задача:

Найти точки экстремума функции f(x) = x³ - 3x² - 9x + 5

Решение:

1. Находим производную:

f'(x) = 3x² - 6x - 9

2. Приравниваем производную к нулю:

3x² - 6x - 9 = 0

3. Делим на 3 и решаем квадратное уравнение:

x² - 2x - 3 = 0

D = 4 + 12 = 16

x₁ = (2 + 4)/2 = 3, x₂ = (2 - 4)/2 = -1

4. Определяем характер точек с помощью интервалов:

• (-∞, -1): f'(-2) = 3*4 + 12 - 9 = 15 > 0 → функция возрастает

• (-1, 3): f'(0) = -9 < 0 → функция убывает

• (3, +∞): f'(4) = 48 - 24 - 9 = 15 > 0 → функция возрастает

При переходе через x = -1 производная меняет знак с + на - → точка максимума

При переходе через x = 3 производная меняет знак с - на + → точка минимума

Ответ:

x_max = -1, x_min = 3