Шпаргалка по функциям

1. Функция. Область определения и множество значений

Определение Функция — это правило, которое каждому элементу x из множества X ставит в соответствие единственный элемент y из множества Y.

Область определения функции D(y) — множество всех допустимых значений аргумента x.

Множество значений функции E(y) — множество всех значений, которые принимает функция y.

Пример Для функции y = √(x-2):

D(y): x - 2 ≥ 0 → x ≥ 2 → [2; +∞)

E(y): y ≥ 0 → [0; +∞)

2. График функции. Примеры в реальной жизни

График функции — множество всех точек на координатной плоскости с координатами (x; y), где x ∈ D(y).

График функции

Реальные примеры:

Путь от времени: S(t)
Стоимость от веса товара: C(m)
Температура от времени суток: T(t)

3. Обратная функция

Функция y = g(x) называется обратной к функции y = f(x), если она каждому y из множества значений f(x) ставит в соответствие исходный x.

Как найти?

Выразить x через y: x = g(y)
Поменять местами x и y: y = g(x)

Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой y = x.

Пример y = 2x + 3 и обратная к ней y = (x - 3)/2.

4. Преобразования графиков

Параллельный перенос:

y = f(x) + a — сдвиг вдоль оси OY на |a| единиц
y = f(x + b) — сдвиг вдоль оси OX на |b| единиц

Симметрия:

y = -f(x) — симметрия относительно оси OX
y = f(-x) — симметрия относительно оси OY

Пример преобразований графиков

5. Монотонность функции

Возрастающая: большему значению аргумента соответствует большее значение функции. (x₁ < x₂ → f(x₁) < f(x₂))
Убывающая: большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. (x₁ < x₂ → f(x₁) > f(x₂))

Промежутки, на которых функция только возрастает или только убывает, называются промежутками монотонности.

График возрастающей и убывающей функции

6. Четность и нечетность

Четная: f(-x) = f(x). График симметричен относительно оси OY (например, y = x², y = cosx)
Нечетная: f(-x) = -f(x). График симметричен относительно начала координат (например, y = x³, y = sinx)

Пример четной и нечетной функции

7. Периодичность

Функция называется периодической, если существует такое число T ≠ 0 (период), что f(x + T) = f(x) для любого x ∈ D(y).

Пример y = sinx (период T=2π), y = tgx (период T=π)

График периодической функции

8. Ограниченность

Ограниченная сверху: ∃ M: f(x) ≤ M для всех x ∈ D(y)
Ограниченная снизу: ∃ m: f(x) ≥ m для всех x ∈ D(y)
Ограниченная: ограничена и сверху, и снизу (∃ A: |f(x)| ≤ A)

9. Точки экстремума. Наибольшее и наименьшее значения

Точка максимума — точка, в которой значение функции больше, чем в соседних точках
Точка минимума — точка, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках
Значение функции в этих точках называются максимумом и минимумом (локальными экстремумами)
Наибольшее значение — самое большое значение функции на всей области определения или заданном промежутке
Наименьшее значение — самое маленькое значение функции на всей области определения или заданном промежутке

График с точками экстремума

Основные элементарные функции

10. Линейная функция

y = kx + b

График: Прямая линия

График линейной функции

Свойства:

D(y) = R, E(y) = R
k — угловой коэффициент (тангенс угла наклона)
b — точка пересечения с осью OY
При k > 0 — возрастает, при k < 0 — убывает

11. Обратная пропорциональность

y = k / x

График: Гипербола

График обратной пропорциональности

Свойства:

D(y) = (-∞; 0) ∪ (0; +∞), E(y) = (-∞; 0) ∪ (0; +∞)
Нечетная
При k > 0 — убывает на промежутках, при k < 0 — возрастает

12. Квадратичная функция

y = ax² + bx + c

График: Парабола. Ветви направлены вверх при a > 0, вниз при a < 0

График квадратичной функции

Свойства:

D(y) = R
Вершина параболы: x₀ = -b/(2a), y₀ = f(x₀)
E(y) = [y₀; +∞) при a > 0 и E(y) = (-∞; y₀] при a < 0

13. Степенная функция (с натуральным показателем)

y = xⁿ

График и свойства зависят от n:

n — четное:

y = x², x⁴...

График похож на параболу. Функция четная, E(y) = [0; +∞)

n — нечетное:

y = x³, x⁵...

График похож на кубическую параболу. Функция нечетная, E(y) = R

Графики степенных функций

14. Тригонометрические функции

y = sinx

D(y)=R, E(y)=[-1; 1]
Нечетная, периодическая (T=2π)

y = cosx

D(y)=R, E(y)=[-1; 1]
Четная, периодическая (T=2π)

y = tgx

D(y): x ≠ π/2 + πk, k∈Z, E(y)=R
Нечетная, периодическая (T=π)

Графики тригонометрических функций

15. Показательная функция

y = aˣ, где a > 0, a ≠ 1

График: Кривая, проходящая через точку (0; 1)

График показательной функции

Свойства:

D(y) = R, E(y) = (0; +∞)
При a > 1 — возрастает, при 0 < a < 1 — убывает

16. Логарифмическая функция

y = logₐ(x), где a > 0, a ≠ 1

График: Кривая, проходящая через точку (1; 0)

График логарифмической функции

Свойства:

D(y) = (0; +∞), E(y) = R
При a > 1 — возрастает, при 0 < a < 1 — убывает
Является обратной для показательной функции

Примеры решения задач по функциям

Разбор основных типов задач по функциям из школьного курса алгебры.

Совет: При решении задач по функциям всегда определяйте область определения функции (ОДЗ) в первую очередь.

1. Нахождение значения функции в точке

Задача: Дана функция f(x) = x² - 3x + 5. Найдите f(2).

Решение: Подставляем вместо x число 2.

f(2) = (2)² - 3×(2) + 5 = 4 - 6 + 5 = 3

Ответ: f(2) = 3

2. Нахождение области определения функции (ОДЗ)

Задача: Найдите область определения функции f(x) = √(x + 4)

Решение: Выражение под корнем должно быть неотрицательным.

x + 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ -4

Ответ: D(f): x ∈ [-4; +∞)

Задача: Найдите область определения функции f(x) = 5/(x - 7)

Решение: Знаменатель не может быть равен нулю.

x - 7 ≠ 0 ⇒ x ≠ 7

Ответ: D(f): x ∈ (-∞; 7) ∪ (7; +∞)

3. Нахождение точек пересечения с осями координат

Задача: Найдите точки пересечения графика функции y(x) = x² - 4x + 3 с осями координат.

Решение:

С осью OY (x = 0): y(0) = 0² - 4×0 + 3 = 3. Точка (0; 3).

С осью OX (y = 0): Решаем уравнение x² - 4x + 3 = 0.

D = (-4)² - 4×1×3 = 16 - 12 = 4

x₁ = (4 + 2)/2 = 3, x₂ = (4 - 2)/2 = 1

Ответ: График пересекает ось OY в точке (0; 3), а ось OX в точках (1; 0) и (3; 0).

4. Исследование функции на монотонность и экстремумы

Задача: Исследуйте функцию f(x) = x³ - 3x на монотонность и экстремумы.

Решение:

1. Находим производную: f'(x) = 3x² - 3

2. Приравниваем производную к нулю: 3x² - 3 = 0 ⇒ x² = 1 ⇒ x₁ = -1, x₂ = 1

3. Определяем знаки производной на интервалах:

(-∞; -1): f'(-2) = 3×4 - 3 = 9 > 0 → функция возрастает

(-1; 1): f'(0) = -3 < 0 → функция убывает

(1; +∞): f'(2) = 3×4 - 3 = 9 > 0 → функция возрастает

Ответ: Функция возрастает на (-∞; -1] и [1; +∞), убывает на [-1; 1]. x = -1 — точка максимума, x = 1 — точка минимума.

5. Построение графика квадратичной функции

Задача: Постройте график функции y = x² - 4x + 3.

Решение:

1. Ветви параболы направлены вверх (a = 1 > 0).

2. Координаты вершины:

x₀ = -b/(2a) = -(-4)/(2×1) = 2

y₀ = 2² - 4×2 + 3 = -1 → вершина (2; -1)

3. Точки пересечения с осями: (0; 3), (1; 0), (3; 0)

4. Дополнительные точки: (4; 3) (симметрично точке (0; 3) относительно оси x=2)

Ответ: График представляет собой параболу с вершиной в точке (2; -1), проходящую через указанные точки.

6. Задачи с параметром

Задача: При каких значениях параметра a уравнение x² + ax + 4 = 0 имеет ровно один корень?

Решение: Уравнение имеет один корень, когда дискриминант равен нулю.

D = a² - 4×1×4 = a² - 16

a² - 16 = 0 ⇒ a² = 16 ⇒ a = 4 или a = -4

Ответ: При a = 4 и a = -4.

Общие советы по решению задач:

Внимательно читайте условие задачи
Определите тип функции и её свойства
Найдите область определения функции (ОДЗ)
Действуйте по алгоритму решения
Проверяйте полученный ответ