Главная страница
Разделы

Шпаргалка по неравенствам

Квадратные неравенства

Неравенства вида: ax² + bx + c > 0 (или <, ≥, ≤)

Алгоритм решения:

  1. Найти корни квадратного трехчлена (D = b² - 4ac)
  2. Построить параболу: ветви вверх если a > 0, вниз если a < 0
  3. Схематично изобразить параболу на числовой оси
  4. Выписать ответ
Случай (a > 0) ax² + bx + c > 0 ax² + bx + c < 0
D > 0 (2 корня) (-∞; x₁) ∪ (x₂; +∞) (x₁; x₂)
D = 0 (1 корень) (-∞; x₀) ∪ (x₀; +∞) ∅ (нет решений)
D < 0 (нет корней) (-∞; +∞) ∅ (нет решений)

Рациональные неравенства

Неравенства вида: P(x) / Q(x) > 0

Принцип решения:

Дробь > 0 ⇔ Числитель и Знаменатель одного знака

Метод интервалов:

  1. Перенести всё в одну сторону
  2. Привести к общему знаменателю
  3. Разложить числитель и знаменатель на множители
  4. Найти корни числителя и знаменателя
  5. Нанести точки на числовую прямую
  6. Расставить знаки на интервалах
  7. Выбрать интервалы с нужным знаком

Важно!

Корни числителя включаются (если неравенство нестрогое), корни знаменателя - НИКОГДА.

Показательные неравенства

Неравенства вида: aᶠ⁽ˣ⁾ > aᵍ⁽ˣ⁾ (или <, ≥, ≤)

Основание a > 0, a ≠ 1

Правила решения:

Если a > 1, то функция возрастает ⇒ знак неравенства сохраняется:

aᶠ⁽ˣ⁾ > aᵍ⁽ˣ⁾ ⇔ f(x) > g(x)

Если 0 < a < 1, то функция убывает ⇒ знак неравенства меняется:

aᶠ⁽ˣ⁾ > aᵍ⁽ˣ⁾ ⇔ f(x) < g(x)

Логарифмические неравенства

Неравенства вида: logₐ(f(x)) > logₐ(g(x))

ОДЗ! f(x) > 0, g(x) > 0

Правила решения:

Если a > 1, функция возрастает ⇒ знак сохраняется:

logₐ(f(x)) > logₐ(g(x)) ⇔ f(x) > g(x) > 0

Если 0 < a < 1, функция убывает ⇒ знак меняется:

logₐ(f(x)) > logₐ(g(x)) ⇔ 0 < f(x) < g(x)

Важно!

Сначала записать ОДЗ, затем решать систему неравенств.

Метод интервалов

Применяется для: многочленов, рациональных дробей, неравенств, которые можно разложить на множители.

Шаги решения:

  1. Привести неравенство к виду F(x) > 0 (< 0)
  2. Найти нули функции F(x) = 0 и точки разрыва
  3. Отметить их на числовой прямой в порядке возрастания
  4. Определить знак F(x) на самом правом интервале
  5. Расставить знаки на остальных интервалах, чередуя их
  6. Выбрать нужные интервалы

Внимание!

Если корень встречается четное число раз (кратный корень), знак при переходе через него НЕ меняется.

Системы неравенств

Решение систем с одной переменной и с двумя переменными

С одной переменной:

  1. Решить каждое неравенство системы отдельно
  2. Изобразить решения каждого на одной числовой прямой
  3. Найти пересечение решений

С двумя переменными:

Неравенство вида: y > kx + b

  1. Построить граничную линию (сплошную для нестрогих, пунктир для строгих неравенств)
  2. Выбрать пробную точку, не лежащую на прямой
  3. Подставить точку в неравенство
  4. Заштриховать найденную полуплоскость

Для системы неравенств:

Изобразить решения каждого неравенства на одной координатной плоскости. Решением системы будет пересечение всех заштрихованных областей.

Решение неравенств

Линейные Квадратные Рациональные С модулем

1. Линейные неравенства

Это неравенства вида ax + b > 0 (или <, ≥, ≤).

Пример 1:

Решить неравенство: 5x - 15 < 0
1. Переносим постоянный член в правую часть: 5x < 15
2. Делим обе части на 5 (знак неравенства не меняется, так как 5 > 0): x < 3
Ответ: x ∈ (-∞; 3)

Пример 2:

Решить неравенство: -3x + 6 ≥ 0
1. Переносим постоянный член: -3x ≥ -6
2. Делим обе части на -3 (знак неравенства меняется, так как -3 < 0): x ≤ 2
Ответ: x ∈ (-∞; 2]

2. Квадратные неравенства

Неравенства вида ax² + bx + c > 0. Алгоритм решения:

  1. Найти корни квадратного уравнения ax² + bx + c = 0
  2. Построить схематично параболу (ветви вверх при a > 0, вниз при a < 0)
  3. Определить интервалы, которые являются решением

Пример 3:

Решить неравенство: x² - 5x + 6 > 0
1. Решаем уравнение x² - 5x + 6 = 0. Дискриминант D = 25 - 24 = 1. Корни: x₁ = 2, x₂ = 3
2. Коэффициент a = 1 > 0, значит парабола ветвями вверх

Схематичное изображение параболы:

    +     |     +     |     +
          |           |
    ------2-----------3------> x
3. Нам нужны промежутки, где функция > 0 (парабола выше оси X): (-∞; 2) и (3; +∞)
Ответ: x ∈ (-∞; 2) ∪ (3; +∞)

3. Рациональные неравенства

Неравенства вида P(x) / Q(x) > 0. Решаются методом интервалов.

Пример 4:

Решить неравенство: (x - 4) / (x + 2) ≥ 0
1. Находим критические точки: x = 4 (числитель = 0) и x = -2 (знаменатель = 0)
2. Отмечаем точки на числовой прямой (x = -2 - выколотая точка)
    +     |     -     |     +
          |           |
    -----(-2)---------4------> x
3. Определяем знаки на интервалах: (-∞; -2), (-2; 4), (4; +∞)
4. Выбираем интервалы с нужным знаком (≥ 0): (-∞; -2) и [4; +∞)
Ответ: x ∈ (-∞; -2) ∪ [4; +∞)

4. Неравенства с модулем

Основные правила:

  • |f(x)| < a, где a > 0 → -a < f(x) < a
  • |f(x)| > a, где a > 0 → f(x) < -a или f(x) > a

Пример 5:

Решить неравенство: |2x - 5| ≤ 3
1. Используем правило: -3 ≤ 2x - 5 ≤ 3
2. Решаем систему двух неравенств:
2x - 5 ≥ -3 → 2x ≥ 2 → x ≥ 1
2x - 5 ≤ 3 → 2x ≤ 8 → x ≤ 4
Ответ: x ∈ [1; 4]

Пример 6:

Решить неравенство: |x² - 4| > 3x
1. Находим точки, где подмодульное выражение = 0: x² - 4 = 0 → x = ±2
2. Решаем на каждом промежутке:
а) x < -2: x² - 4 > 3x → x² - 3x - 4 > 0 → x < -1 → решение: x < -2
б) -2 ≤ x ≤ 2: 4 - x² > 3x → x² + 3x - 4 < 0 → -4 < x < 1 → решение: -2 ≤ x < 1
в) x > 2: x² - 4 > 3x → x² - 3x - 4 > 0 → x > 4 → решение: x > 4
Ответ: x ∈ (-∞; 1) ∪ (4; +∞)
Удачи на контрольной! 🚀