Шпаргалка по логарифмам

1. Определение логарифма

Логарифм числа b по основанию a (logₐ b) — это показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b:

logₐ b = c ⇔ a^c = b

Условия:
- a > 0, a ≠ 1
- b > 0

2. Основные свойства логарифмов

1. Логарифм единицы:

logₐ 1 = 0

2. Логарифм основания:

logₐ a = 1

3. Логарифм произведения:

logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y

4. Логарифм частного:

logₐ(x/y) = logₐ x - logₐ y

5. Логарифм степени:

logₐ(xⁿ) = n logₐ x

6. Формула перехода к новому основанию:

logₐ b = log_c b / log_c a

3. Десятичный и натуральный логарифмы

- Десятичный логарифм (по основанию 10):

log₁₀ x или просто lg x

- Натуральный логарифм (по основанию e):

log_e x обозначается ln x

где e ≈ 2.71828 — число Эйлера (иррациональное).

4. Полезные формулы

- Связь с экспонентой:

e^{ln x} = x

- Замена основания:

logₐ b = 1 / log_b a

- Логарифм корня:

logₐ ⁿ√x = (1/n) logₐ x

5. Примеры

1. log₂ 8 = 3, так как 2³ = 8.
2. ln e⁵ = 5.
3. lg 100 = 2.

Примеры решения задач по логарифмам

1. Логарифм числа

Задача: Вычислить \(\log_2 8\).

Логарифм \(\log_b a = c\) означает, что \(b^c = a\).

\[ \log_2 8 = x \implies 2^x = 8 \implies 2^x = 2^3 \implies x = 3. \]

Ответ: 3.

2. Логарифм произведения

Задача: Упростить \(\log_3 (9 \cdot 27)\).

Используем свойство \(\log_b (xy) = \log_b x + \log_b y\):

\[ \log_3 (9 \cdot 27) = \log_3 9 + \log_3 27 = \log_3 3^2 + \log_3 3^3 = 2 + 3 = 5. \]

Ответ: 5.

3. Логарифм частного

Задача: Вычислить \(\log_{10} \left( \frac{1000}{10} \right)\).

Используем свойство \(\log_b \left( \frac{x}{y} \right) = \log_b x - \log_b y\):

\[ \log_{10} \left( \frac{1000}{10} \right) = \log_{10} 1000 - \log_{10} 10 = 3 - 1 = 2. \]

Ответ: 2.

4. Логарифм степени

Задача: Упростить \(\log_5 25^4\).

Используем свойство \(\log_b a^c = c \log_b a\):

\[ \log_5 25^4 = 4 \log_5 25 = 4 \log_5 5^2 = 4 \cdot 2 = 8. \]

Ответ: 8.

5. Десятичный логарифм

Задача: Найти \(\lg 10000\).

Десятичный логарифм (\(\lg\)) — это \(\log_{10}\):

\[ \lg 10000 = \log_{10} 10^4 = 4. \]

Ответ: 4.

6. Натуральный логарифм и число \(e\)

Задача: Вычислить \(\ln e^7\).

Натуральный логарифм (\(\ln\)) — это \(\log_e\), где \(e \approx 2,71828\):

\[ \ln e^7 = 7 \ln e = 7 \cdot 1 = 7. \]

Ответ: 7.

7. Комбинированная задача

Задача: Упростить \(2 \log_2 6 - \log_2 9\).

Используем свойства логарифмов:

\[ 2 \log_2 6 = \log_2 6^2 = \log_2 36, \]

\[ \log_2 36 - \log_2 9 = \log_2 \left( \frac{36}{9} \right) = \log_2 4 = 2. \]

Ответ: 2.