Шпаргалка по основам тригонометрии
1. Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла
Для угла α в прямоугольном треугольнике:
- sin α = против. / гипотенуза
- cos α = прил. / гипотенуза
- tg α = против. / прил. = sin α / cos α
- ctg α = прил. / против. = cos α / sin α
Для произвольного угла на единичной окружности:
- sin α = y-координата точки
- cos α = x-координата точки
- tg α = sin α / cos α (если cos α ≠ 0)
- ctg α = cos α / sin α (если sin α ≠ 0)
2. Радианная мера угла
- 1 радиан — угол, при котором длина дуги равна радиусу.
- π радиан = 180° ⇒
- 1° = π/180 радиан
- 1 рад = 180°/π ≈ 57,3°
3. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа
Для числа t (радианная мера угла):
- sin t — ордината точки на единичной окружности
- cos t — абсцисса точки
- tg t = sin t / cos t (при cos t ≠ 0)
- ctg t = cos t / sin t (при sin t ≠ 0)
4. Основные тригонометрические тождества
1. Основное:
sin²α + cos²α = 1
2. Для тангенса и котангенса:
1 + tg²α = 1/cos²α, 1 + ctg²α = 1/sin²α
3. Связь тангенса и котангенса:
tgα · ctgα = 1
5. Формулы приведения
Позволяют упростить тригонометрические функции вида:
sin(π/2 ± α), cos(π ± α), и т.д.
Правило:
- Если угол 90° ± α или 270° ± α, функция меняется на ко-функцию (sin ↔ cos, tg ↔ ctg).
- Знак определяется по исходной функции в данной четверти.
Примеры:
- sin(90° - α) = cos α
- cos(180° + α) = -cos α
- tg(270° - α) = ctg α
6. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов
Сумма углов:
sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ
cos(α + β) = cosα cosβ - sinα sinβ
tg(α + β) = (tgα + tgβ)/(1 - tgα tgβ)
Разность углов:
sin(α - β) = sinα cosβ - cosα sinβ
cos(α - β) = cosα cosβ + sinα sinβ
tg(α - β) = (tgα - tgβ)/(1 + tgα tgβ)
7. Синус и косинус двойного угла
1. Синус двойного угла:
sin2α = 2 sinα cosα
2. Косинус двойного угла (3 варианта):
cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α
3. Тангенс двойного угла:
tg2α = 2tgα/(1 - tg²α)
Дополнительно:
Формулы половинного угла:
sin(α/2) = ±√[(1 - cosα)/2], cos(α/2) = ±√[(1 + cosα)/2]
Примеры решения задач по основам тригонометрии
1. Синус, косинус, тангенс произвольного угла
Задача:
Найдите значения sinα, cosα и tanα, если точка на единичной окружности соответствует углу α = 150°.
Решение:
Угол 150° находится во II четверти. Используем формулы приведения:
sin150° = sin(180° - 30°) = sin30° = 1/2
cos150° = -cos30° = -√3/2
tan150° = sin150°/cos150° = (1/2)/(-√3/2) = -1/√3 = -√3/3
2. Радианная мера угла
Задача:
Переведите угол 45° в радианы.
Решение:
Используем формулу перевода градусов в радианы:
αрад = αград · π/180°
45° · π/180° = π/4 радиан
3. Синус, косинус, тангенс числа
Задача:
Вычислите sin(5π/6) и tan(5π/6).
Решение:
Угол 5π/6 соответствует 150° (так как π = 180°). Из предыдущего примера:
sin(5π/6) = 1/2
tan(5π/6) = -√3/3
4. Основные тригонометрические тождества
Задача:
Упростите выражение: sin²α + cos²α + tan²α.
Решение:
Используем основное тождество sin²α + cos²α = 1:
sin²α + cos²α + tan²α = 1 + tan²α = 1/cos²α
(так как 1 + tan²α = sec²α)
5. Формулы приведения
Задача:
Упростите cos(3π/2 - α).
Решение:
Используем формулу приведения для косинуса:
cos(3π/2 - α) = -sinα
(так как 3π/2 — это 270°, III четверть)
6. Синус и косинус суммы углов
Задача:
Найдите sin75° и cos75°.
Решение:
Разложим 75° = 45° + 30° и применим формулы:
sin75° = sin(45° + 30°) = sin45°cos30° + cos45°sin30°
sin75° = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2)/4
cos75° = cos45°cos30° - sin45°sin30° = (√6 - √2)/4
7. Синус и косинус двойного угла
Задача:
Упростите выражение sin2α, если cosα = -3/5 и α лежит во II четверти.
Решение:
Сначала найдем sinα:
sin²α = 1 - cos²α = 1 - (-3/5)² = 1 - 9/25 = 16/25
Во II четверти sinα > 0, поэтому sinα = 4/5.
Теперь применим формулу двойного угла:
sin2α = 2sinαcosα = 2·(4/5)·(-3/5) = -24/25
