Комбинаторика (Правило суммы и произведения)
В школьной столовой предлагают 3 вида супа, 5 вторых блюд и 4 вида напитка. Сколькими способами ученик может выбрать обед, состоящий из одного первого, одного второго и одного напитка?
Решение: Это классическая задача на правило произведения (если выбор состоит из нескольких последовательных шагов, то общее число комбинаций равно произведению вариантов на каждом шагу).
• Шаг 1: Выбор супа. У нас есть 3 варианта.
• Шаг 2: Выбор второго блюда. Независимо от выбора супа, у нас есть 5 вариантов.
• Шаг 3: Выбор напитка. Независимо от предыдущих выборов, у нас есть 4 варианта.
Комбинаторика (Сочетания)
В классе 25 учеников. Сколькими способами можно выбрать двух дежурных?
Решение: Порядок выбора не важен (дежурные «Иван и Мария» — это то же самое, что «Мария и Иван»). Поэтому используем формулу числа сочетаний из `n` по `k`: `C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)`
• `n` = 25 (общее количество элементов)
• `k` = 2 (количество элементов, которые мы выбираем)
`C(25, 2) = 25! / (2! * (25-2)!) = (25 * 24) / (2 * 1) = 600 / 2 = 300`
Теория вероятностей (Классическое определение)
В корзине лежат 15 яблок, из которых 6 красных, а остальные зелёные. Наугад берут одно яблоко. Какова вероятность того, что оно окажется зелёным?
Решение: Вероятность события `A` вычисляется по формуле: `P(A) = m / n`, где
• `n` — общее число всех равновозможных исходов.
• `m` — число исходов, благоприятствующих событию `A`.
1. Общее число исходов `n`: любое из 15 яблок. `n = 15`.
2. Число благоприятных исходов `m`: количество зелёных яблок. Зелёных яблок: 15 - 6 = 9. `m = 9`.
3. Находим вероятность: `P(зелёное) = 9 / 15 = 3/5 = 0,6`.
Теория вероятностей (Произведение вероятностей)
Монету бросают два раза. Какова вероятность того, что оба раза выпадет орёл?
Решение: События являются независимыми (результат первого броска не влияет на результат второго).
1. Вероятность выпадения орла в одном броске: `P(О) = 1/2`.
2. Так как события независимы, вероятность того, что оба раза выпадет орёл, равна произведению вероятностей: `P(О и О) = P(О) * P(О) = (1/2) * (1/2) = 1/4`.
Можно также решить через комбинаторику. Всего возможных исходов при 2 бросках: 2 * 2 = 4 (ОО, ОР, РО, РР). Благоприятный исход только один (ОО). Значит, вероятность `1/4`.
Статистика (Среднее арифметическое, мода, размах)
В течение недели фиксировалась температура воздуха в полдень: Пн: 12°C, Вт: 15°C, Ср: 15°C, Чт: 14°C, Пт: 13°C, Сб: 16°C, Вс: 16°C. Найдите среднюю температуру, моду и размах температурного ряда.
Решение:
1. Среднее арифметическое (средняя температура): `(12 + 15 + 15 + 14 + 13 + 16 + 16) / 7 = 101 / 7 ≈ 14,43°C`
2. Мода (наиболее часто встречающееся значение в ряду): Чаще всего встречаются температуры 15°C (2 раза) и 16°C (2 раза). Ряд является бимодальным: `Mo₁ = 15°C`, `Mo₂ = 16°C`.
3. Размах (разность между наибольшим и наименьшим значением; показывает разброс данных): Наибольшее значение: 16°C, Наименьшее значение: 12°C, Размах: `16 - 12 = 4°C`
Комбинаторика и теория вероятностей (Комбинированная задача)
Из колоды в 36 карт наугад вытягивают одну карту. Какова вероятность того, что это будет туз или карта бубновой масти?
Решение: Здесь нужно применить формулу сложения вероятностей для несовместных событий, но быть внимательным: туз бубен подходит под оба условия, то есть события «вытащить туза» и «вытащить бубну» являются совместными.
`P(А или В) = P(А) + P(В) - P(А и В)`
• Событие А: «вытащить туза». Всего тузов в колоде 4. `P(А) = 4/36`.
• Событие В: «вытащить бубну». Всего бубновых карт 9. `P(В) = 9/36`.
• Событие (А и В): «вытащить туза бубен». Такой карта всего одна. `P(А и В) = 1/36`.
Подставляем в формулу: `P(А или В) = 4/36 + 9/36 - 1/36 = (4 + 9 - 1)/36 = 12/36 = 1/3`.