Главная страница
Разделы

Шпаргалка по координатам и векторам

Декартовы координаты

Плоскость (2D)

Точка задается двумя координатами: A(x₁; y₁)

Пространство (3D)

Точка задается тремя координатами: B(x₂; y₂; z₂)

Расстояние между двумя точками

На плоскости: между точками A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂)

|AB| = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

В пространстве: между точками A(x₁; y₁; z₁) и B(x₂; y₂; z₂)

|AB| = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)

Уравнение сферы

С центром в точке C(a; b; c) и радиусом R:

(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²

Если центр в начале координат (0;0;0):

x² + y² + z² = R²

Векторы: основные понятия

Вектор

Направленный отрезок. Обозначается: a̅, AB⃗ (вектор из точки A в точку B)

Модуль вектора (длина)

Для вектора a̅(x; y; z):

|a̅| = √(x² + y² + z²)

Равенство векторов

Векторы равны, если совпадают их длины, направления и они параллельны. Равные векторы имеют одинаковые координаты.

Действия с векторами

Сложение (правило треугольника): a̅ + b̅ = c̅

По координатам: a̅(x₁;y₁;z₁) + b̅(x₂;y₂;z₂) = c̅(x₁+x₂; y₁+y₂; z₁+z₂)

Умножение на число (λ): λ * a̅ = b̅

Длина: |b̅| = |λ| * |a̅|

По координатам: λ * a̅(x;y;z) = b̅(λx; λy; λz)

Коллинеарные и компланарные векторы

Коллинеарные векторы

Векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной прямой).

Признак коллинеарности

a̅(x₁;y₁) || b̅(x₂;y₂) ⇔ x₁/x₂ = y₁/y₂ (координаты пропорциональны)

В 3D: x₁/x₂ = y₁/y₂ = z₁/z₂

Разложение по двум неколлинеарным векторам

Любой вектор c̅ на плоскости можно представить как c̅ = x * a̅ + y * b̅, где a̅ и b̅ — неколлинеарные векторы.

Компланарные векторы

Векторы, лежащие в параллельных плоскостях (или в одной плоскости).

Признак компланарности

Три вектора a̅, b̅, c̅ компланарны, если один из них можно представить как c̅ = αa̅ + βb̅

Разложение по трем некомпланарным векторам

Любой вектор d̅ в пространстве можно представить как d̅ = x * a̅ + y * b̅ + z * c̅, где a̅, b̅, c̅ — некомпланарные векторы.

Координаты вектора и скалярное произведение

Координаты вектора

Для вектора AB⃗ с началом A(x₁;y₁;z₁) и концом B(x₂;y₂;z₂):

AB⃗ = (x₂ - x₁; y₂ - y₁; z₂ - z₁)

Скалярное произведение векторов

Результат - число

Формула через координаты:

a̅ · b̅ = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂

Формула через длины и угол:

a̅ · b̅ = |a̅| * |b̅| * cos(φ)

Угол между векторами

cos(φ) = (a̅ · b̅) / (|a̅| * |b̅|)

cos(φ) = (x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂) / (√(x₁²+y₁²+z₁²) * √(x₂²+y₂²+z₂²))

Важный частный случай

Векторы перпендикулярны (φ = 90°, cos(φ)=0) тогда и только тогда, когда:

a̅ ⟂ b̅ ⇔ a̅ · b̅ = 0

Ключевые выводы:

  1. Координаты — основной инструмент для решения задач
  2. Все действия с векторами (кроме скалярного произведения) приводят к вектору
  3. Скалярное произведение — это число, нужно для нахождения углов и проверки перпендикулярности
  4. Условия коллинеарности (пропорциональность координат) и перпендикулярности (скалярное произведение = 0) — самые важные признаки

Решение задач по координатам и векторам

Примеры решения типовых школьных задач с подробными объяснениями

Задача 1. Координаты и длина вектора

Даны точки A(2; -5) и B(-1; 3). Найдите:

а) Координаты вектора AB

б) Длину вектора AB

в) Координаты вектора BA

Решение:

а) Координаты вектора AB находятся по формуле:

AB = (Bx - Ax; By - Ay) = (-1 - 2; 3 - (-5)) = (-3; 8)

б) Длина вектора находится по формуле:

|AB| = √(x² + y²) = √((-3)² + 8²) = √(9 + 64) = √73

в) Вектор BA противоположен вектору AB:

BA = -AB = -(-3; 8) = (3; -8)

Ответ:

а) AB{-3; 8}

б) |AB| = √73

в) BA{3; -8}

Задача 2. Коллинеарность векторов

Определите, являются ли векторы a{4; 6} и b{-2; -3} коллинеарными.

Решение:

Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны:

4 / (-2) = -2

6 / (-3) = -2

Коэффициенты пропорциональности одинаковы, значит векторы коллинеарны.

Ответ:

Векторы a и b коллинеарны.

Задача 3. Операции с векторами

Даны векторы a{2; -4} и b{-1; 5}. Найдите координаты векторов:

а) c = a + b

б) d = 3a

в) e = 2a - b

Решение:

а) Сложение векторов:

c = a + b = (2 + (-1); -4 + 5) = (1; 1)

б) Умножение вектора на число:

d = 3a = (3×2; 3×(-4)) = (6; -12)

в) Линейная комбинация:

e = 2a - b = (2×2 - (-1); 2×(-4) - 5) = (4 + 1; -8 - 5) = (5; -13)

Ответ:

а) c{1; 1}

б) d{6; -12}

в) e{5; -13}

Задача 4. Координаты середины отрезка

Даны точки A(3; 1) и C(9; 5).

а) Найдите координаты точки B — середины отрезка AC.

б) Найдите координаты точки K, которая делит отрезок AC в отношении λ = AK:KC = 2:1.

Решение:

а) Координаты середины отрезка:

Bx = (Ax + Cx) / 2 = (3 + 9) / 2 = 6

By = (Ay + Cy) / 2 = (1 + 5) / 2 = 3

б) Координаты точки, делящей отрезок в отношении λ = 2:

Kx = (Ax + λCx) / (1 + λ) = (3 + 2×9) / (1 + 2) = (3 + 18) / 3 = 7

Ky = (Ay + λCy) / (1 + λ) = (1 + 2×5) / 3 = (1 + 10) / 3 = 11/3

Ответ:

а) B(6; 3)

б) K(7; 11/3)

Задача 5. Скалярное произведение и угол между векторами

Найдите скалярное произведение векторов a{1; 3} и b{4; -2} и угол между ними.

Решение:

Скалярное произведение:

(a · b) = ax×bx + ay×by = 1×4 + 3×(-2) = 4 - 6 = -2

Длины векторов:

|a| = √(1² + 3²) = √10

|b| = √(4² + (-2)²) = √20 = 2√5

Косинус угла между векторами:

cos(α) = (a · b) / (|a| × |b|) = -2 / (√10 × 2√5) = -2 / (2√50) = -1/√50 = -√2/10

Ответ:

Скалярное произведение: -2

cos(α) = -√2/10

Удачи на контрольной! 🚀