Угол — фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.
Полный оборот = 360°
Развернутый угол = 180°
Прямой угол = 90°
Длина дуги l окружности радиуса R, на которую опирается центральный угол α (в градусах):
l = (π × R × α) / 180°
Если угол α в радианах:
l = R × α
Угол между двумя пересекающимися прямыми — меньший из углов между ними.
Угол между скрещивающимися прямыми — угол между прямыми, параллельными им и пересекающимися.
Угол между прямыми всегда 0° ≤ α ≤ 90°
Это угол между прямой и её проекцией на плоскость.
Угол между прямой и плоскостью всегда 0° ≤ α ≤ 90°
Между точками A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂) на плоскости:
AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
В пространстве между A(x₁, y₁, z₁) и B(x₂, y₂, z₂):
AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)
Равна сумме длин всех её звеньев.
C = 2πR = πd
где d — диаметр
Сумма длин всех сторон.
Прямоугольник: P = 2(a + b)
Квадрат: P = 4a
Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра.
Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра.
Расстояние между параллельными прямыми — расстояние от любой точки одной прямой до другой.
Расстояние между параллельными плоскостями — расстояние от любой точки одной плоскости до другой.
Через основание и высоту: S = ½ × a × h
Формула Герона: S = √(p(p - a)(p - b)(p - c))
где p = (a + b + c)/2
Прямоугольный: S = ½ × a × b
Через две стороны и угол: S = ½ × a × b × sinα
S = a × h
S = a × b × sinα
S = ½ × (a + b) × h
где a и b — основания
S = πR²
Через градусную меру угла α:
S = (πR² × α) / 360°
Через длину дуги l:
S = ½ × R × l
Боковая: Sбок = 2πRh
Полная: Sполн = 2πRh + 2πR²
Боковая: Sбок = πRl
Полная: Sполн = πRl + πR²
где l — образующая
S = 4πR²
V = a³
V = a × b × c
V = Sосн × h
V = (1/3) × Sосн × h
V = (4/3) × πR³
π ≈ 3.14159
360° = 2π радиан
180° = π радиан
90° = π/2 радиан
Все единицы измерения должны быть согласованы
Рисуйте чертежи! Это помогает понять, какие элементы фигуры известны.
Найдите длину дуги окружности радиуса 6 см, если соответствующий ей центральный угол равен 30°.
Решение:
l = (π × R × α) / 180 = (π × 6 × 30) / 180 = (180π) / 180 = π см
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между прямой A₁C и плоскостью (ABC). Пусть ребро куба равно 1.
Решение:
1. Нормальный вектор плоскости: n = (0,0,1)
2. Направляющий вектор прямой: s = (1,1,-1)
3. sinα = |(1×0 + 1×0 + (-1)×1)| / (√3 × 1) = 1/√3
4. α = arcsin(1/√3)
Найдите периметр прямоугольного треугольника с катетами 3 см и 4 см.
Решение:
1. Гипотенуза: c = √(3² + 4²) = √25 = 5 см
2. Периметр: P = 3 + 4 + 5 = 12 см
Найдите расстояние от точки M(1, 2, 3) до плоскости 2x - y + 2z - 6 = 0.
Решение:
ρ = |2×1 + (-1)×2 + 2×3 - 6| / √(4+1+4) = |2 - 2 + 6 - 6| / 3 = 0
Найдите площадь равнобедренной трапеции с основаниями 10 и 16 и боковой стороной 5.
Решение:
1. Проекция боковой стороны: (16-10)/2 = 3
2. Высота: h = √(5² - 3²) = √16 = 4
3. Площадь: S = (10+16)/2 × 4 = 13 × 4 = 52
Найдите площадь боковой поверхности конуса с радиусом основания 3 и высотой 4.
Решение:
1. Образующая: l = √(3² + 4²) = √25 = 5
2. Sбок = π × 3 × 5 = 15π
Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 6 и боковым ребром 5.
Решение:
1. Sосн = 6² = 36
2. Половина диагонали: d/2 = (6√2)/2 = 3√2
3. Высота: H = √(5² - (3√2)²) = √(25 - 18) = √7
4. Объем: V = (1/3) × 36 × √7 = 12√7