Шпаргалка, тела и поверхности вращения

Цилиндр

Тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.

Основание: Два равных круга, лежащих в параллельных плоскостях

Высота (h): Расстояние между плоскостями оснований

Образующая (l): Отрезок, соединяющий точки окружностей оснований (l = h)

Боковая поверхность: Поверхность цилиндра без учёта оснований

Развертка: Прямоугольник со сторонами h и 2πR

🛢️

Развертка: прямоугольник + два круга

S_бок = 2πRh

S_полн = 2πR(h + R)

Конус

Тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

Основание: Круг

Вершина: Точка, не лежащая в плоскости основания

Высота (h): Перпендикуляр из вершины на плоскость основания

Образующая (l): Отрезок, соединяющий вершину с точкой на окружности основания

Развертка: Сектор круга с радиусом l и длиной дуги 2πR

🎯

Развертка: сектор круга + круг

S_бок = πRl

S_полн = πR(l + R)

l² = R² + h²

Шар и Сфера

Тело, полученное вращением круга вокруг его диаметра (шар). Поверхность шара называется сферой.

Центр (O): Общая точка для всех сечений

Радиус (R): Отрезок, соединяющий центр с любой точкой сферы

Диаметр (d): Отрезок, соединяющий две точки сферы через центр (d = 2R)

Сечения: Все сечения сферы являются кругами

Большой круг: Сечение через центр (радиус = R)

⚽

Сечение сферы плоскостью - круг

S_сферы = 4πR²

r² = R² - d² (для малого круга)

Примеры решения задач: тела и поверхности вращения

В этом пособии разобраны классические типы задач по теме "Тела и поверхности вращения" из школьного курса стереометрии.

Обозначения:

R — радиус основания (или большой радиус)
r — радиус малого основания (для усеченного конуса)
h — высота
l — образующая (для конуса и усеченного конуса)

Важная связь для конуса (Теорема Пифагора): l² = R² + h²

Основные формулы

Тело	Площадь боковой поверхности (Sбок)	Площадь полной поверхности (Sполн)	Объем (V)
Цилиндр	2πRh	2πR(h + R)	πR²h
Конус	πRl	πR(l + R)	1/3 * πR²h
Усеченный конус	πl(R + r)	Sбок + π(R² + r²)	1/3 * πh(R² + Rr + r²)
Шар	4πR² (площадь сферы)	-	4/3 * πR³

Примеры решения задач

Задача 1 (Цилиндр)

Условие: Осевое сечение цилиндра — квадрат, диагональ которого равна 12√2 см. Найдите площадь полной поверхности и объем цилиндра.

Решение:

Шаг 1. Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, который по условию является квадратом. Его диагональ d = 12√2 см.

Шаг 2. Сторона квадрата (a) является одновременно высотой цилиндра (h) и диаметром его основания (2R). Значит, h = 2R = a.

Шаг 3. Находим сторону квадрата через диагональ: d = a√2 => 12√2 = a√2 => a = 12 см.

Шаг 4. Находим параметры цилиндра:

Высота: h = a = 12 см
Радиус: R = a/2 = 12/2 = 6 см

Шаг 5. Вычисляем:

Площадь полной поверхности: Sполн = 2πR(h + R) = 2 × π × 6 × (12 + 6) = 12π × 18 = 216π см²
Объем: V = πR²h = π × 6² × 12 = π × 36 × 12 = 432π см³

Ответ: Sполн = 216π см², V = 432π см³

Задача 2 (Конус)

Условие: Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30° и равна 10 см. Найдите площадь боковой поверхности и объем конуса.

Решение:

Шаг 1. Имеем прямоугольный треугольник: гипотенуза — образующая l = 10 см, катеты — высота h и радиус R, угол между образующей и основанием — 30°.

Шаг 2. Находим высоту и радиус:

Высота: h = l × sin(30°) = 10 × 1/2 = 5 см
Радиус: R = l × cos(30°) = 10 × (√3/2) = 5√3 см

Шаг 3. Вычисляем:

Площадь боковой поверхности: Sбок = πRl = π × 5√3 × 10 = 50√3π см²
Объем: V = 1/3 × πR²h = 1/3 × π × (5√3)² × 5 = 1/3 × π × 75 × 5 = 125π см³

Ответ: Sбок = 50√3π см², V = 125π см³

Задача 3 (Шар)

Условие: Площадь поверхности шара равна 144π см². Найдите его объем.

Решение:

Шаг 1. Формула площади поверхности шара: S = 4πR²

Шаг 2. Приравниваем к известному значению: 4πR² = 144π

Шаг 3. Находим радиус: R² = 144π / 4π = 36 => R = 6 см

Шаг 4. Находим объем: V = 4/3 × πR³ = 4/3 × π × 6³ = 4/3 × π × 216 = 288π см³

Ответ: V = 288π см³

Задача 4 (Комбинированная задача)

Условие: Прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см вращается вокруг большего катета. Найдите площадь полной поверхности и объем полученного тела.

Решение:

Шаг 1. При вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета получаем конус.

Шаг 2. Определяем параметры конуса:

Высота: h = 12 см (больший катет)
Радиус: R = 5 см (меньший катет)
Образующая: l = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13 см (гипотенуза)

Шаг 3. Вычисляем:

Площадь полной поверхности: Sполн = πR(l + R) = π × 5 × (13 + 5) = 5π × 18 = 90π см²
Объем: V = 1/3 × πR²h = 1/3 × π × 25 × 12 = 100π см³

Ответ: Sполн = 90π см², V = 100π см³

Советы по решению задач:

Внимательно читайте условие. Вращение вокруг катета или вокруг гипотенузы даст совершенно разные тела.
Всегда делайте схематичный чертеж. Это помогает понять, какой элемент тела является радиусом, высотой или образующей.
Помните о теореме Пифагора. В задачах на конус часто нужно найти недостающий элемент через прямоугольный треугольник.
Следите за размерностью. Ответ может быть выражен через π или потребуется вычислить численное значение.
Проверяйте себя. Подставьте полученные ответы в исходные формулы и убедитесь, что логика не нарушена.