Шпаргалка по многогранникам

1. Призма

Определение: Многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы.

Основные элементы:

Основания: Два равных параллельных многоугольника
Боковые грани: Параллелограммы
Боковые ребра: Общие стороны боковых граней. Они параллельны и равны
Высота (h): Перпендикуляр между плоскостями оснований

Виды призм:

Прямая призма
Боковые ребра перпендикулярны основаниям

Наклонная призма
Боковые ребра не перпендикулярны основаниям

Правильная призма
Прямая призма с правильным многоугольником в основании

Формулы:

Площадь боковой поверхности: S_бок = P_осн × h

Площадь полной поверхности: S_полн = S_бок + 2 × S_осн

2. Параллелепипед и Куб

Параллелепипед: Призма, в основании которой лежит параллелограмм.

Свойства:

Все грани — параллелограммы
Противоположные грани параллельны и равны
Прямоугольный параллелепипед: Все грани — прямоугольники
d² = a² + b² + c² (теорема о квадрате диагонали)

Куб: Прямоугольный параллелепипед с равными ребрами. Все грани — равные квадраты.

Диагональ куба: d = a√3

Симметрии:

Центр симметрии: Точка пересечения диагоналей
Оси симметрии:
- В кубе: 9 осей
- В прямоугольном параллелепипеде: 3 оси
Плоскости симметрии:
- В кубе: 9 плоскостей
- В прямоугольном параллелепипеде: 3 плоскости

3. Пирамида

Определение: Многогранник, у которого одна грань (основание) — произвольный многоугольник, а остальные грани (боковые) — треугольники, имеющие общую вершину.

Основные элементы:

Основание: Многоугольник
Боковые грани: Треугольники
Боковые ребра: Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания
Высота (h): Перпендикуляр из вершины на плоскость основания
Апофема (l): Высота боковой грани в правильной пирамиде

Виды пирамид:

Треугольная пирамида (Тетраэдр)
Основание — треугольник

Правильная пирамида
В основании — правильный многоугольник, основание высоты совпадает с центром основания

Формулы:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: S_бок = ½ × P_осн × l

Площадь полной поверхности: S_полн = S_бок + S_осн

4. Сечения многогранников

Сечение — плоская фигура, образующаяся при пересечении многогранника плоскостью.

Типичные сечения:

Куб:

Треугольник (плоскость отсекает вершину)
Четырехугольник (трапеция, прямоугольник, квадрат)
Пятиугольник (плоскость пересекает пять граней)
Шестиугольник (плоскость пересекает все шесть граней)

Призма:

Сечение, параллельное основанию — многоугольник, равный основанию
Сечение, параллельное боковым ребрам — параллелограмм

Пирамида:

Сечение, параллельное основанию — подобный основанию многоугольник

5. Правильные многогранники (Платоновы тела)

Определение: Выпуклые многогранники, все грани которых — равные правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

Название	Грани	Вершин	Ребер
Тетраэдр	4 правильных треугольника	4	6
Куб (Гексаэдр)	6 квадратов	8	12
Октаэдр	8 правильных треугольников	6	12
Додекаэдр	12 правильных пятиугольников	20	30
Икосаэдр	20 правильных треугольников	12	30

Важно: Не путать правильный тетраэдр (все ребра равны) с произвольной треугольной пирамидой.

Решение задач по многогранникам

📐 Задача 1: Прямоугольный параллелепипед

Условие: Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 3 см и 4 см, а диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите объем и площадь полной поверхности.

Шаг 1: Найдем диагональ основания по теореме Пифагора:

d = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 см

Шаг 2: Найдем высоту параллелепипеда H через тангенс угла:

tan(60°) = H / 5 → √3 = H / 5 → H = 5√3 см

Шаг 3: Найдем объем:

V = Sосн × H = (3×4) × 5√3 = 12 × 5√3 = 60√3 см³

Шаг 4: Найдем площадь полной поверхности:

Sполн = Sбок + 2×Sосн = Pосн×H + 2×Sосн

Pосн = 2×(3+4) = 14 см

Sполн = 14×5√3 + 2×12 = 70√3 + 24 см²

Ответ: V = 60√3 см³, Sполн = (70√3 + 24) см²

🔺 Задача 2: Правильная четырехугольная пирамида

Условие: В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а высота равна 4 см. Найдите апофему, площадь боковой поверхности и объем пирамиды.

Шаг 1: Найдем апофему (SK) из прямоугольного треугольника SOK:

OK = 6/2 = 3 см, SO = 4 см

SK = √(SO² + OK²) = √(16 + 9) = √25 = 5 см

Шаг 2: Найдем площадь боковой поверхности:

Sбок = ½ × Pосн × SK = ½ × 24 × 5 = 60 см²

Pосн = 4×6 = 24 см

Шаг 3: Найдем объем пирамиды:

V = ⅓ × Sосн × H = ⅓ × 36 × 4 = 48 см³

Sосн = 6² = 36 см²

Ответ: Апофема = 5 см, Sбок = 60 см², V = 48 см³

🔷 Задача 3: Правильная треугольная призма

Условие: Сторона основания правильной треугольной призмы равна 2√3 см, а диагональ боковой грани равна 5 см. Найдите объем призмы.

Шаг 1: Найдем высоту призмы (H) из прямоугольного треугольника:

H² = (диагональ грани)² - (сторона основания)²

H² = 5² - (2√3)² = 25 - 12 = 13

H = √13 см

Шаг 2: Найдем площадь основания (правильный треугольник):

Sосн = (a²√3)/4 = ((2√3)²√3)/4 = (12√3)/4 = 3√3 см²

Шаг 3: Найдем объем призмы:

V = Sосн × H = 3√3 × √13 = 3√39 см³

Ответ: V = 3√39 см³

◼️ Задача 4: Комбинация тел

Условие: В куб вписана правильная четырехугольная пирамида так, что ее основание совпадает с основанием куба, а вершина — с центром верхней грани куба. Ребро куба равно 1. Найдите объем пирамиды.

Шаг 1: Основание пирамиды совпадает с основанием куба:

Sосн = 1² = 1

Шаг 2: Высота пирамиды равна высоте куба:

H = 1

Шаг 3: Найдем объем пирамиды:

V = ⅓ × Sосн × H = ⅓ × 1 × 1 = ⅓

Ответ: V = 1/3

Советы по решению задач по многогранникам

Чертеж: Всегда начинайте с аккуратного чертежа. Правильно обозначьте все известные элементы.

Правильные многогранники: Помните определения правильной пирамиды и призмы.

Выносные чертежи: Рисуйте не только многогранник, но и отдельно его грани и важные сечения.

Теорема Пифагора: Это главный инструмент для нахождения неизвестных отрезков в многогранниках.

Тригонометрия: Если дан угол, используйте соотношения в прямоугольном треугольнике (sin, cos, tg).

Формулы: Убедитесь, что вы точно помните все формулы для объемов и площадей поверхностей.