Главная страница
Разделы

Шпаргалка, прямые и плоскости в пространстве

Взаимное расположение прямых в пространстве

Тип Определение Признак
Пересекающиеся Имеют одну общую точку Лежат в одной плоскости и пересекаются
Параллельные Не пересекаются и лежат в одной плоскости a ∥ b, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются
Скрещивающиеся Не лежат в одной плоскости Если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой
Перпендикулярность прямых: Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.
Важно: Даже скрещивающиеся прямые могут быть перпендикулярными.

Прямая и плоскость. Параллельность

Признак (Когда прямая параллельна плоскости?) Свойство (Что следует из параллельности?)
Параллельность
a ∥ α		 Если прямая a параллельна какой-нибудь прямой b, лежащей в плоскости α
a ∥ b, b ⊂ α ⇒ a ∥ α		 Если плоскость β проходит через прямую a ∥ α и пересекает α по прямой b, то a ∥ b
a ∥ α, a ⊂ β, α ∩ β = b ⇒ a ∥ b
Пример: Если прямая параллельна линии пересечения двух плоскостей, то она параллельна обеим плоскостям.

Плоскости. Параллельность

Признак (Когда плоскости параллельны?) Свойство (Что следует из параллельности?)
Параллельность
α ∥ β		 Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения параллельны
α ∥ β, γ ∩ α = a, γ ∩ β = b ⇒ a ∥ b
Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Прямая и плоскость. Перпендикулярность

Признак (Когда прямая перпендикулярна плоскости?) Свойство (Что следует из перпендикулярности?)
Перпендикулярность
a ⟂ α		 Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости
a ⟂ b, a ⟂ c, b ⊂ α, c ⊂ α, b ∩ c ⇒ a ⟂ α		 Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости
a ⟂ α, b ⊂ α ⇒ a ⟂ b

Перпендикуляр и наклонная

Перпендикуляр (AH) - отрезок, опущенный из точки на плоскость под прямым углом.
Наклонная (AB) - отрезок, соединяющий точку с любой точкой плоскости, не являющейся основанием перпендикуляра.
Проекция (HB) - отрезок, соединяющий основание перпендикуляра с основанием наклонной.

Теорема о трёх перпендикулярах (ТТП)

1. Прямая: Если прямая на плоскости перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной.
AH ⟂ α, AB — наклонная, HB — проекция, a ⊂ α, a ⟂ HB ⇒ a ⟂ AB

2. Обратная: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.
AH ⟂ α, AB — наклонная, HB — проекция, a ⊂ α, a ⟂ AB ⇒ a ⟂ HB

Плоскости. Перпендикулярность

Признак (Когда плоскости перпендикулярны?) Свойство (Что следует из перпендикулярности?)
Перпендикулярность
α ⟂ β		 Если одна из двух плоскостей содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости
a ⊂ α, a ⟂ β ⇒ α ⟂ β		 Если плоскости α и β перпендикулярны, то прямая, проведенная в одной плоскости перпендикулярно линии их пересечения, будет перпендикулярна другой плоскости
α ⟂ β, α ∩ β = c, a ⊂ α, a ⟂ c ⇒ a ⟂ β

Параллельное проектирование. Изображение пространственных фигур

Параллельное проектирование: Процесс, при котором все точки фигуры проецируются на плоскость параллельными прямыми (проектирующими лучами).

Правила изображения пространственных фигур на плоскости

  • Параллельные прямые изображаются параллельными
  • Отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, сохраняется
  • Площадь проекции фигуры равна площади самой фигуры, умноженной на косинус угла между плоскостью фигуры и плоскостью проекции: Sпр = S ∙ cos(φ)
  • Центр многоугольника проецируется в центр его проекции
Примеры:
- Куб/Параллелепипед: Изображают так, чтобы невидимые ребра были показаны штриховкой
- Призма: Боковые ребра обычно изображают параллельными
- Пирамида: Основание часто изображают с искажением для придания объема

Примеры решения задач по теме "Прямые и плоскости в пространстве"

Задача 1. Взаимное расположение прямой и плоскости

Даны прямая l, заданная точкой M(1, 2, 3) и направляющим вектором s⃗ = (2, -1, 1), и плоскость α, заданная уравнением 3x + y - 2z + 5 = 0. Определить их взаимное положение.

Решение:

1. Находим нормальный вектор плоскости: Из уравнения плоскости видно, что n⃗ = (3, 1, -2).
2. Находим скалярное произведение: (s⃗ · n⃗) = (2 * 3) + (-1 * 1) + (1 * -2) = 6 - 1 - 2 = 3.
3. Анализируем результат: (s⃗ · n⃗) ≠ 0 → Прямая пересекает плоскость.
Ответ: Прямая пересекает плоскость.
Задача 2. Нахождение точки пересечения прямой и плоскости

Найти точку пересечения прямой x = 2t + 1, y = -t + 3, z = 3t - 2 с плоскостью x - 2y + z - 4 = 0.

Решение:

1. Подставляем параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости: (2t + 1) - 2(-t + 3) + (3t - 2) - 4 = 0
2. Упрощаем и решаем уравнение: 2t + 1 + 2t - 6 + 3t - 2 - 4 = 0
7t - 11 = 0
t = 11/7
3. Находим координаты точки, подставив t в уравнения прямой:
x = 2*(11/7) + 1 = 22/7 + 7/7 = 29/7
y = -(11/7) + 3 = -11/7 + 21/7 = 10/7
z = 3*(11/7) - 2 = 33/7 - 14/7 = 19/7
Ответ: Точка пересечения имеет координаты (29/7, 10/7, 19/7).
Задача 3. Нахождение угла между прямой и плоскостью

Найти угол между прямой (x - 1)/2 = (y + 3)/-1 = z/2 и плоскостью x + 2y - 2z + 1 = 0.

Решение:

1. Находим векторы:
Из уравнения прямой: s⃗ = (2, -1, 2)
Из уравнения плоскости: n⃗ = (1, 2, -2)
2. Находим скалярное произведение: (s⃗ · n⃗) = (2*1) + (-1*2) + (2*-2) = 2 - 2 - 4 = -4
Модуль: |(s⃗ · n⃗)| = 4
3. Находим длины векторов:
|s⃗| = √(2² + (-1)² + 2²) = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3
|n⃗| = √(1² + 2² + (-2)²) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3
4. Находим синус угла: sin(φ) = |(s⃗ · n⃗)| / (|s⃗| * |n⃗|) = 4 / (3 * 3) = 4/9
5. Находим сам угол: φ = arcsin(4/9)
Ответ: Угол между прямой и плоскостью равен arcsin(4/9).
Задача 4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Определить взаимное положение прямых:
l₁: (x - 2)/3 = (y + 1)/2 = (z - 3)/-1
l₂: x = 4t - 1, y = t + 2, z = -2t + 5

Решение:

1. Проверка на параллельность:
Направляющий вектор l₁: s₁⃗ = (3, 2, -1)
Направляющий вектор l₂: s₂⃗ = (4, 1, -2)
Проверяем коллинеарность: 3/4 ≠ 2/1 ≠ -1/-2 → прямые не параллельны.
2. Проверка на пересечение:
Составим систему уравнений, приравняв координаты с параметрами t (для l₂) и u (для l₁):
3u + 2 = 4t - 1 (1)
2u - 1 = t + 2 (2)
-u + 3 = -2t + 5 (3)
Из уравнения (2): t = 2u - 3
Подставляем в (1): 3u + 2 = 4(2u - 3) - 1 → 3u + 2 = 8u - 12 - 1 → -5u = -15 → u = 3
Тогда t = 2*3 - 3 = 3
Проверяем третье уравнение: -3 + 3 = 0 ≠ -2*3 + 5 = -1 → система не имеет решения.
3. Вывод: Прямые не параллельны и не пересекаются → они скрещиваются.
Ответ: Прямые l₁ и l₂ скрещиваются.
Задача 5. Построение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(1, -2, 4) перпендикулярно прямой (x + 1)/2 = y/-3 = (z - 5)/1.

Решение:

1. Находим нормальный вектор: Из уравнения прямой направляющий вектор s⃗ = (2, -3, 1) является нормальным вектором плоскости: n⃗ = (2, -3, 1).
2. Используем уравнение плоскости по точке и нормальному вектору:
A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0
где A(1, -2, 4) = (x₀, y₀, z₀), n⃗ = (A, B, C) = (2, -3, 1)
3. Подставляем:
2(x - 1) - 3(y + 2) + 1(z - 4) = 0
4. Приводим к общему виду:
2x - 2 - 3y - 6 + z - 4 = 0
2x - 3y + z - 12 = 0
Ответ: Уравнение плоскости: 2x - 3y + z - 12 = 0.
Удачи на контрольной! 🚀