Шпаргалка: Числа, корни и степени
1.1.1 Целые числа
ℤ = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …}
Свойства:
- Замкнуты относительно сложения, вычитания, умножения
- Не замкнуты относительно деления (например, 5 : 2 = 2.5 ∉ ℤ)
1.1.2 Степень с натуральным показателем
Для a ∈ ℝ, n ∈ ℕ:
an = a · a · ... · a (n раз)
Свойства:
- am · an = am+n
- am / an = am-n (при a ≠ 0, m > n)
- (am)n = am·n
- (ab)n = anbn
- (a/b)n = an/bn (при b ≠ 0)
1.1.3 Дроби, проценты, рациональные числа
- Дроби: a/b, где a — числитель, b — знаменатель (b ≠ 0)
- Проценты: 1% = 1/100
- Рациональные числа (ℚ): { p/q | p ∈ ℤ, q ∈ ℕ }
1.1.4 Степень с целым показателем
Для a ≠ 0, n ∈ ℤ:
a-n = 1/an, a0 = 1
Пример: 2-3 = 1/8, 50 = 1
1.1.5 Корень степени и его свойства
Корень n-й степени (n ∈ ℕ):
√n(a) = b ⇔ bn = a
Свойства:
- √n(a·b) = √n(a) · √n(b)
- √n(a/b) = √n(a)/√n(b) (при b ≠ 0)
- √n(am) = am/n
- √n(√k(a)) = √nk(a)
1.1.6 Степень с рациональным показателем
Для a > 0, m ∈ ℤ, n ∈ ℕ:
am/n = √n(am) = (√n(a))m
Пример: 82/3 = √3(82) = √3(64) = 4
1.1.7 Свойства степени с действительным показателем
Для a, b > 0, x, y ∈ ℝ:
- ax · ay = ax+y
- ax / ay = ax-y
- (ax)y = ax·y
- (ab)x = axbx
- (a/b)x = ax/bx
Особые случаи:
- a1 = a
- 1x = 1
- a0 = 1 (при a ≠ 0)
Полезные формулы:
- Разность квадратов: a2 - b2 = (a - b)(a + b)
- Квадрат суммы: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
- Куб суммы: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Применение:
- Упрощение выражений
- Решение уравнений и неравенств
- Вычисления с дробными и отрицательными степенями
Примеры решения задач по Числам, корням и степеням
Пример 1: Упрощение выражения со степенями
Задача: Упростите выражение:
\[
\left( \frac{a^5 \cdot a^{-3}}{a^2} \right)^2
\]
Решение:
- Упростим числитель:
\[
a^5 \cdot a^{-3} = a^{5 + (-3)} = a^2
\]
- Разделим на знаменатель:
\[
\frac{a^2}{a^2} = a^{2-2} = a^0 = 1
\]
- Возведем в квадрат:
\[
1^2 = 1
\]
Ответ: 1
Пример 2: Вычисление корня
Задача: Вычислите:
\[
\sqrt[3]{27} + \sqrt{25} - \sqrt[4]{16}
\]
Решение:
- Найдем кубический корень:
\[
\sqrt[3]{27} = 3 \quad (\text{так как } 3^3 = 27)
\]
- Найдем квадратный корень:
\[
\sqrt{25} = 5 \quad (\text{так как } 5^2 = 25)
\]
- Найдем корень 4-й степени:
\[
\sqrt[4]{16} = 2 \quad (\text{так как } 2^4 = 16)
\]
- Сложим и вычтем:
\[
3 + 5 - 2 = 6
\]
Ответ: 6
Пример 3: Рациональные показатели
Задача: Упростите выражение:
\[
\left( 8^{\frac{1}{3}} \cdot 16^{\frac{1}{4}} \right)^2
\]
Решение:
- Представим числа в виде степеней двойки:
\[
8 = 2^3, \quad 16 = 2^4
\]
- Упростим степени:
\[
8^{\frac{1}{3}} = \left(2^3\right)^{\frac{1}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 2^1 = 2
\]
\[
16^{\frac{1}{4}} = \left(2^4\right)^{\frac{1}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 2^1 = 2
\]
- Перемножим:
\[
2 \cdot 2 = 4
\]
- Возведем в квадрат:
\[
4^2 = 16
\]
Ответ: 16
Пример 4: Действия с корнями
Задача: Упростите выражение:
\[
\sqrt{12} + 2\sqrt{27} - \sqrt{75}
\]
Решение:
- Разложим подкоренные выражения на множители:
\[
\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}
\]
\[
2\sqrt{27} = 2 \cdot \sqrt{9 \cdot 3} = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}
\]
\[
\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}
\]
- Подставим и упростим:
\[
2\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = (2 + 6 - 5)\sqrt{3} = 3\sqrt{3}
\]
Ответ: 3√3
Пример 5: Уравнение со степенями
Задача: Решите уравнение:
\[
5^{x+1} = 25
\]
Решение:
- Представим 25 как степень 5:
\[
25 = 5^2
\]
- Приравняем показатели:
\[
5^{x+1} = 5^2 \implies x + 1 = 2
\]
- Решим линейное уравнение:
\[
x = 2 - 1 = 1
\]
Ответ: 1
