Шпаргалка по кинематике прямолинейного движения

1. Основные понятия

Путь (S) – длина траектории (скаляр).
Перемещение (r⃗) – вектор, соединяющий начальную и конечную точки движения.
Скорость (v⃗) – векторная величина, характеризующая быстроту перемещения:
v⃗ = Δr⃗/Δt
- Средняя скорость (путевая):
  v_ср = S_общ/t_общ
- Мгновенная скорость – скорость в данный момент времени.
Ускорение (a⃗) – изменение скорости за время:
a⃗ = Δv⃗/Δt

2. Виды движения

Равномерное прямолинейное движение (РПД):
- a = 0, v = const
- Уравнения:
  x(t) = x₀ + v t
  
  S = v t
Равноускоренное прямолинейное движение (РУПД):
- a = const, v меняется
- Уравнения:
  v(t) = v₀ + a t
  
  x(t) = x₀ + v₀ t + (a t²)/2
  
  S = v₀ t + (a t²)/2
  
  v² - v₀² = 2 a S (без времени)

3. Графики

График x(t) (координата от времени):
- РПД: прямая линия (v = tg α)
- РУПД: парабола
График v(t) (скорость от времени):
- РПД: горизонтальная прямая (v = const)
- РУПД: наклонная прямая (a = tg α)
- Путь – площадь под графиком
График a(t) (ускорение от времени):
- РПД: a = 0
- РУПД: горизонтальная прямая (a = const)

4. Частные случаи

Свободное падение:
- a = g ≈ 9,8 м/с² (вниз)
- Уравнения РУПД, где a = g
Движение вверх (подброс):
- a = -g (замедление)
- Время подъёма: t_под = v₀/g
- Максимальная высота: h_max = v₀²/(2g)

5. Относительность движения

v⃗_тел = v⃗_отн + v⃗_пер

Где:

v⃗_отн – скорость тела относительно подвижной системы
v⃗_пер – скорость подвижной системы

6. Полезные формулы

Средняя скорость при РУПД:
v_ср = (v₀ + v)/2
Время до остановки (если v = 0):
t = |v₀|/a

Запомни:

При разгоне a и v сонаправлены
При торможении a и v направлены противоположно

Примеры решения задач по кинематике прямолинейного движения

Вот несколько примеров решения задач по кинематике прямолинейного движения с пошаговыми объяснениями.

Пример 1: Равномерное прямолинейное движение

Условие:

Автомобиль движется равномерно со скоростью 72 км/ч. Какой путь он пройдёт за 10 секунд?

Решение:

1. Переведём скорость в СИ:

72 км/ч = (72 × 1000)/3600 = 20 м/с

2. При равномерном движении путь вычисляется по формуле:

S = v × t

3. Подставляем значения:

S = 20 м/с × 10 с = 200 м

Ответ: 200 метров.

Пример 2: Равноускоренное движение без начальной скорости

Условие:

Тело начинает двигаться с ускорением 2 м/с². Какой путь оно пройдёт за 5 секунд?

Решение:

1. Используем формулу пути для равноускоренного движения без начальной скорости:

S = (a × t²)/2

2. Подставляем значения:

S = (2 × 5²)/2 = (2 × 25)/2 = 25 м

Ответ: 25 метров.

Пример 3: Равноускоренное движение с начальной скоростью

Условие:

Поезд движется со скоростью 10 м/с и начинает тормозить с ускорением 1 м/с². Какое расстояние он пройдёт до полной остановки?

Решение:

1. Найдём время до остановки (v = 0):

v = v₀ - a × t ⇒ 0 = 10 - 1 × t ⇒ t = 10 с

2. Используем формулу пути:

S = v₀ × t - (a × t²)/2

3. Подставляем значения:

S = 10 × 10 - (1 × 10²)/2 = 100 - 50 = 50 м

Ответ: 50 метров.

Пример 4: Движение с переменным ускорением (более сложный случай)

Условие:

Ускорение тела задано уравнением a(t) = 3t + 2 (м/с²). Найти скорость и путь через 4 секунды, если начальная скорость v₀ = 1 м/с.

Решение:

1. Найдём скорость как интеграл ускорения:

v(t) = v₀ + ∫₀ᵗ a(t) dt = 1 + ∫₀ᵗ (3t + 2) dt

v(t) = 1 + [(3t²)/2 + 2t]|₀ᵗ = 1 + (3t²)/2 + 2t

2. Подставляем t = 4 с:

v(4) = 1 + (3 × 16)/2 + 8 = 1 + 24 + 8 = 33 м/с

3. Найдём путь как интеграл скорости:

S(t) = ∫₀ᵗ v(t) dt = ∫₀ᵗ (1 + (3t²)/2 + 2t) dt

S(t) = t + t³/2 + t²

4. Подставляем t = 4 с:

S(4) = 4 + 64/2 + 16 = 4 + 32 + 16 = 52 м

Ответ: Скорость через 4 с — 33 м/с, путь — 52 м.

Выводы:

При равномерном движении используется формула S = v × t.
При равноускоренном движении — S = v₀ × t + (a × t²)/2.
Если ускорение зависит от времени, нужно интегрировать.