Шпаргалка по кинематике криволинейного движения

1. Основные понятия

Криволинейное движение — движение тела по траектории, не являющейся прямой линией.
Радиус кривизны траектории (R) — радиус окружности, наиболее точно описывающей траекторию в данной точке.
Угловая скорость (ω) — скорость изменения угла поворота:
ω = dφ/dt [рад/с]
Угловое ускорение (α) — скорость изменения угловой скорости:
α = dω/dt [рад/с²]

2. Линейные и угловые величины

Связь между линейными и угловыми величинами:

Линейная скорость:
v = ω·R
Тангенциальное ускорение (изменяет скорость по величине):
a_τ = α·R
Нормальное (центростремительное) ускорение (изменяет скорость по направлению):
a_n = v²/R = ω²·R
Полное ускорение:
a = √(a_τ² + a_n²)

3. Частные случаи

а) Движение по окружности

Период вращения (T):
T = 2π/ω
Частота вращения (f):
f = 1/T = ω/2π

б) Криволинейное движение с постоянной скоростью

Нормальное ускорение:
a_n = v²/R
Тангенциальное ускорение отсутствует (a_τ = 0)

в) Движение по параболе (например, тело, брошенное под углом к горизонту)

Горизонтальная составляющая скорости постоянна:
v_x = v₀ cosα
Вертикальная составляющая скорости изменяется:
v_y = v₀ sinα - gt
Ускорение:
a = g (вниз)

4. Векторные соотношения

Вектор угловой скорости (ω) направлен по оси вращения (правило буравчика)
Вектор линейной скорости:
v = ω × R
Вектор нормального ускорения направлен к центру кривизны траектории

5. Формулы для разных типов движения

Величина	Формула
Угловая скорость	ω = ω₀ + αt
Угол поворота	φ = φ₀ + ω₀t + αt²/2
Связь v и ω	v = ωR

Полезно запомнить:

При равномерном движении по окружности ускорение направлено к центру!
Если скорость меняется по модулю, есть тангенциальное ускорение.

Примеры решения задач по кинематике криволинейного движения

Пример 1: Движение по окружности с постоянной скоростью

Задача:

Точка движется по окружности радиусом R = 2 м с постоянной скоростью v = 5 м/с. Найти:

угловую скорость ω,
центростремительное ускорение a_n,
период обращения T.

Решение:

1) Угловая скорость:

ω = v/R = 5/2 = 2.5 рад/с

2) Центростремительное ускорение:

a_n = v²/R = 5²/2 = 12.5 м/с²

3) Период обращения:

T = 2πR/v = (2·π·2)/5 ≈ 2.51 с

Пример 2: Криволинейное движение с заданными уравнениями

Задача:

Тело движется по траектории, заданной уравнениями:

x(t) = 3 cos(2t), y(t) = 3 sin(2t)

Найти:

уравнение траектории в декартовых координатах,
скорость v и ускорение a,
радиус кривизны ρ.

Решение:

1) Исключаем время t:

(x/3)² + (y/3)² = cos²(2t) + sin²(2t) = 1 ⇒ x² + y² = 9

Траектория — окружность радиусом R = 3 м.

2) Скорость:

v_x = ẋ = -6 sin(2t), v_y = ẏ = 6 cos(2t)

v = √(v_x² + v_y²) = √(36 sin²(2t) + 36 cos²(2t)) = 6 м/с

Ускорение:

a_x = v̇_x = -12 cos(2t), a_y = v̇_y = -12 sin(2t)

a = √(a_x² + a_y²) = 12 м/с² (центростремительное)

3) Радиус кривизны (для окружности совпадает с радиусом):

ρ = R = 3 м

Пример 3: Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Задача:

Тело брошено под углом α = 30° со скоростью v₀ = 20 м/с. Найти:

максимальную высоту подъёма h,
дальность полёта L,
радиус кривизны в верхней точке траектории.

Решение:

1) Максимальная высота:

h = (v₀² sin² α)/2g = (20² × 0.5²)/(2 × 9.8) ≈ 5.1 м

2) Дальность полёта:

L = (v₀² sin 2α)/g = (400 × sin 60°)/9.8 ≈ 35.3 м

3) В верхней точке:

v_x = v₀ cos α ≈ 17.3 м/с

a_n = g = v_x²/ρ ⇒ ρ ≈ 17.3²/9.8 ≈ 30.6 м

Пример 4: Криволинейное движение с переменной скоростью

Задача:

Точка движется по окружности радиусом R = 10 м с угловым ускорением β = 0.2 рад/с². Найти скорость v, тангенциальное a_τ и полное ускорение a через t = 5 с, если начальная угловая скорость ω₀ = 1 рад/с.

Решение:

1) Угловая скорость:

ω = ω₀ + βt = 1 + 0.2×5 = 2 рад/с

v = ωR = 2×10 = 20 м/с

2) Тангенциальное ускорение:

a_τ = βR = 0.2×10 = 2 м/с²

3) Центростремительное ускорение:

a_n = ω²R = 2²×10 = 40 м/с²

4) Полное ускорение:

a = √(a_τ² + a_n²) = √(4 + 1600) ≈ 40.05 м/с²

Заключение

Эти примеры охватывают основные типы задач по кинематике криволинейного движения. Для более сложных случаев (например, движение по произвольной кривой) используется разложение ускорения на тангенциальную и нормальную компоненты через радиус кривизны:

a_τ = dv/dt, a_n = v²/ρ