Шпаргалка: Электромагнитные колебания

1. Основные понятия

Электромагнитные колебания – периодические изменения заряда, силы тока, напряжения, а также связанных с ними электрического и магнитного полей.

Колебательный контур – простейшая система, в которой возникают электромагнитные колебания (состоит из конденсатора и катушки индуктивности).

2. Элементы контура

Конденсатор (C) – накапливает заряд и энергию электрического поля:

W_e = CU²/2 = q²/(2C)

Катушка индуктивности (L) – создаёт магнитное поле при протекании тока:

W_m = LI²/2

3. Свободные колебания в идеальном контуре

Уравнение колебаний:

q'' + ω₀²q = 0

где ω₀ = 1/√(LC) – собственная частота контура.

Период колебаний (формула Томсона):

T = 2π√(LC)

Частота колебаний:

ν = 1/T = 1/(2π√(LC))

4. Зависимости заряда, тока и напряжения

Заряд: q(t) = q_max cos(ω₀t + φ₀)
Ток: I(t) = q'(t) = -I_max sin(ω₀t + φ₀), где I_max = q_maxω₀
Напряжение: U(t) = q(t)/C = U_max cos(ω₀t + φ₀)

5. Затухающие колебания

Если есть сопротивление (R), колебания затухают:

q(t) = q_max e^-βt cos(ωt + φ₀)

где:

β = R/(2L) – коэффициент затухания,
ω = √(ω₀² - β²) – частота затухающих колебаний.

6. Вынужденные колебания. Резонанс

Под действием внешней ЭДС ℰ = ℰ₀ cos Ωt возникают вынужденные колебания.

Резонанс – резкое возрастание амплитуды при совпадении частоты вынуждающей силы Ω с собственной частотой ω₀.

7. Переменный ток

Напряжение: U = U_max cos ωt
Сила тока: I = I_max cos (ωt + φ)
Действующие значения:

I_д = I_max/√2, U_д = U_max/√2

8. Мощность в цепи переменного тока

P = I_дU_д cos φ

где cos φ – коэффициент мощности.

9. Резонанс в RLC-цепи

При ω = ω₀ = 1/√(LC) ток максимален, а сопротивление цепи минимально (равно R).

Формулы для запоминания:

T = 2π√(LC)
ω₀ = 1/√(LC)
I_д = I_max/√2

Полезно для задач на ЕГЭ! 📚✨

Примеры решения задач по электромагнитным колебаниям

1. Задача на период колебаний в контуре

Условие: В колебательном контуре ёмкость конденсатора C = 50 пФ, а индуктивность катушки L = 2 мГн. Определите период свободных колебаний в контуре.

Период колебаний в LC-контуре определяется по формуле Томсона:

T = 2π√(LC)

Подставляем значения (переведя в СИ):

C = 50·10⁻¹² Ф, L = 2·10⁻³ Гн
T = 2π√(2·10⁻³·50·10⁻¹²) = 2π√(100·10⁻¹⁵) = 2π·10⁻⁷ с
T ≈ 6,28·10⁻⁷ с = 0,628 мкс

Ответ: T ≈ 0,63 мкс.

2. Задача на резонансную частоту

Условие: Колебательный контур состоит из катушки индуктивности L = 0,2 Гн и конденсатора C = 500 пФ. Найдите частоту свободных колебаний в контуре.

Резонансная частота LC-контура:

f = 1/(2π√(LC))

Подставляем значения:

C = 500·10⁻¹² Ф, L = 0,2 Гн
f = 1/(2π√(0,2·500·10⁻¹²)) = 1/(2π√(100·10⁻¹²)) = 1/(2π·10⁻⁵)
f ≈ 1/(6,28·10⁻⁵) ≈ 15,92 кГц

Ответ: f ≈ 16 кГц.

3. Задача на закон сохранения энергии в контуре

Условие: В идеальном колебательном контуре максимальный заряд на конденсаторе q_max = 10⁻⁶ Кл, а ёмкость C = 0,1 мкФ. Найдите максимальную энергию магнитного поля катушки.

Полная энергия контура сохраняется и равна максимальной энергии электрического поля конденсатора:

W_{эл max} = q_max²/(2C)

При переходе энергии в катушку, W_{магн max} = W_{эл max}.

Подставляем:

W_{магн max} = (10⁻⁶)²/(2·0,1·10⁻⁶) = 10⁻¹²/(2·10⁻⁷) = 0,5·10⁻⁵ = 5·10⁻⁶ Дж

Ответ: W_{магн max} = 5 мкДж.

4. Задача на связь заряда и тока

Условие: В колебательном контуре заряд конденсатора изменяется по закону q(t) = 2·10⁻⁶ cos(10⁴ t) Кл. Найдите амплитуду силы тока в контуре.

Сила тока — это производная заряда по времени:

I(t) = q'(t) = -2·10⁻⁶·10⁴·sin(10⁴ t) = -0,02 sin(10⁴ t) А

Амплитуда тока:

I₀ = 0,02 А = 20 мА

Ответ: I₀ = 20 мА.